Nico Valerio: DESTRA O SINISTRA. La simmetria e le strane scelte di Natura, numeri e arte.

DESTRA O SINISTRA? DA CHE PARTE STA LA NATURA

I MISTERI DELLA

SIMMETRIA

La politica non c’entra, ma sembra che l’uomo, le piante, gli animali, la terra, perfino i numeri e l’arte avvalorino i concetti di destra e di sinistra. Insomma, la bilateralità regna sovrana nel mondo, ed è difficile farne a meno. Ecco, in proposito, le strane scoperte d'uno scienziato un po' eccentrico.

di NICO VALERIO
Scienza 2000, febbraio 1985, Teknos, novembre 1996*, agg. 2014**

Mettete un bambino o uno scimpanzé davanti allo specchio. Saranno i soli a meravigliarsi di una strana e illogica inversione: sulla superficie riflettente l'orecchio destro prende il posto del sinistro, ma la testa, non viene mai scambiata con la parte inferiore. E l'immagine riflessa non muta se ruotiamo lo specchio di 45 gradi sul suo piano. Insomma, già nella stanza da bagno la natura mostra una sfacciata preferenza per la simmetria bilaterale, quella orizzontale che noi siamo soliti definire col binomio “destra-sinistra”.

La natura è “di destra” o “di sinistra”? Piante e animali, proprio come gli umani in politica, fanno scelto curiose. La pianta del convolvolo (Ipomea purpurea) si avvolge sempre verso destra ai rami degli alberi, mentre il caprifoglio (Lonicera periclymenum) si attorciglia sui biancospini con spire levogire, cioè sinistrorse. In laboratorio, già nell'Ottocento ci si accorse delle diverse tendenze delle molecole.

Louis Pasteur rischiò di divenire famoso in anticipo scoprendo che i cristalli dell'acido racemico dell'uva sono un miscuglio in parti uguali di cristalli di acido tartarico destrogiri e levogiri, cioè capaci di far ruotare la luce polarizzata verso destra o sinistra. In questo caso, la forma simmetrica di un cristallo di acido tartarico è chiamata «enantiomorfa», cioè speculare all'altra.

Il fruttosio, o zucchero della frutta, detto anche levulosio perché levogiro, ha nella molecola gli stessi atomi del destrosio, ma fa ruotare la luce polarizzata verso sinistra. Si distingue non solo per la diversa polarizzazione, ma anche, particolare curioso, per un gusto molto più dolce.

Ma, almeno, l'uomo – si obietterà – con un corpo cosi simmetrico non farà scelte. E invece, no. L’uomo è solo approssimativamente simmetrico. Il maschio sarebbe quasi simmetrico se il suo testicolo sinistro non fosse più basso del destro. Senza contare che la maggior parte degli umani usa di preferenza la mano destra, e non per un'abitudine indotta dalle madri, come riteneva Platone, ma per un'antica scelta culturale o una particolare predisposizione cerebrale. Del resto, i mancini sono pochi: il 3 per cento ai tempi della Bibbia, il 20 per cento oggi. E gli ambidestri sono pochissimi.

E in Natura che accade? La vita biologica, è ormai accertato, gira verso sinistra, ha scritto lo scienziato Alberto Oliverio in un interessante articolo sul Corriere del 29 ottobre 1995 che tocca proprio il tema della simmetria. Pasteur scoprì che le forme viventi non sono simmetriche. Fatto sta che la maggior parte delle molecole preferisce, chissà perché, la sinistra. “Ogni molecola biologicamente attiva in teoria può avere due forme che sono una l'immagine speculare dell'altra. In realtà però in Natura si osserva solo la forma sinistrorsa, o levogira. La causa di questa preferenza – nota come chiralità – è tuttora enigmatica, ma un primo passo verso la soluzione viene ora da un esperimento su un sistema non biologico, secondo il quale la chiralità sarebbe un effetto spontaneo di processi entropici”. Così si legge in un articolo dedicato da Le Scienze (12 maggio 2012) al problema.

Però un comportamento difforme dalla maggior parte della vita biologica mostra il DNA. L'acido desossiribonucleico, che è all'origine della vita cellulare, fa una scelta diversa: la sua elica è destrogira.

La politica non c'entra, naturalmente,. anche perché la distinzione destra sinistra nei Parlamenti è recente; però di fronte alla neutralità della natura, la tendenza culturale al 'destrismo' è innata o almeno antichissima nell'uomo.

In tutte le lingue, sostantivi e aggettivi come recht, right, droit, diritto, dritto, destro, sono correlati a connotazioni semantiche positive, denotano cioè ciò che è normale e giusto; mentre link, left, gauche, manco, mancino, sinistro. al contrario denotano ciò che è sbagliato o funesto.

Non ha rapporti col mancinismo l'abitudine nevrotica di leggere riviste dalla fine all'inizio, come ha appurato Newsweek. Ben il 44 per cento dei suoi lettori si comportava così, secondo un questionario del 1963. Ben altra cosa sono la scrittura sinistrorsa e la conseguente lettura da destra a sinistra, lettera dopo lettera, dall'ultima alla prima pagina, in uso presso arabi giapponesi e cinesi, e ai primordi della civiltà anche in Occidente Anche Leonardo da Vinci aveva un vezzo del genere, e ora se vogliamo leggere i suoi scritti dobbiamo aiutarci con uno specchio.

In natura è comune la asimmetria a elica, come si è visto. Ne sono buoni esempi tronchi, steli, fiori semi, pigne, foglie, queste ultime anche per la disposizione elicoidale sul ramo. La begonia tende a formare viticci che si avvolgono a destra. I rami di faggio e castagno a volte formano viluppi elicoidali destrorsi o sinistrorsi, a seconda della specie. Talvolta sono presenti una o più eliche con opposti sensi di rotazione: zanne dei mammut, corna dell'ariete, della capra, dell'antilope, ossa del torace e delle gambe dell'uomo, ali degli uccelli, dei pipistrelli e degli insetti, batteri, spermatozoi degli animali superiori, conchiglie e numerosi molluschi.

Joseph.Wood Krutch ha dimostrato che i pipistrelli, quando escono da una grotta, compiono un volo a elica levogira.

Gli animali sessili cioè attaccati a qualche cosa e non in grado di muoversi da soli come gli anemoni marini, hanno la simmetria radiale conica tipica delle piante. Lo stesso per gli animali che si muovono lentamente, come gli echinodermi (stella di mare; cetriolo di mare) e le meduse. Perché? Perché galleggiano o si adagiano sul fondo, dove il cibo e il pericolo li circondano con uguali probabilità da tutte le parti, ritiene Martin Gardner, studioso di simmetria. Al contrario, la possibilità di muoversi rapidamente in cerca di cibo rende più utile alla sopravvivenza la posizione anteriore della bocca e degli occhi, per poter afferrare il cibo prima dei concorrenti.

Ma gli occhi e la bocca sono già sufficienti a distinguere il davanti dal dietro del pesce, mentre la forza di gravità tende à diversificare la parte superiore (dorsale) da quella inferiore (ventrale) Inutile sarebbe, invece, una diversificazione destra sinistra, vista l'uniformità laterale in ambiente marino a pari profondità. Il che spiega perché un pesce è tagliato da un solo piano di simmetria bilaterale, e perché rettili, animali terrestri e volatili conservano la medesima simmetria acquisita nel mare ai primordi della vita animale sulla Terra.

Tra gli animali, l'esempio più appariscente e curioso di asimmetria anatomica e funzionale è dato dall'enorme tenaglia sinistra del granchio violinista. Ma anche il crociere, un piccolo fringuello rosso, ha un curioso becco asimmetrico, mentre il wry billed, un piviere della Nuova Zelanda, ha il becco piegato da una sola parte.

Frequentissime le asimmetrie tra gli organi interni. Cuore, ovaio, stomaco, fegato, milza, intestino, per esempio, hanno forma di per sé asimmetrica oppure sono spostati a destra o a sinistra.

Strana è la distinzione tra due diverse asimmetrie sessuali negli Anableps, piccoli pesci con quattro occhi. La femmina ha solo un orifizio sessuale, o sul lato destro o sul sinistro; anche il maschio ha un organo copulatore o a destra o a sinistra. Ogni pesce, cioè, è sessualmente destrorso o sinistrorso, il che rende impossibile l'accoppiamento tra individui della stessa 1 mano' e introduce nella specie una asimmetria davvero singolare.

Il lungo corno del maschio del narvalo, simile a un'acuminata spada, non è in realtà che la zanna sinistra cresciuta a dismisura, e per di più con scanalature elicoidali, sempre in senso anti orario anche quando a crescere sono entrambe le zanne. Curiosi sono anche il modo asimmetrico di sovrapporre le ali che hanno i grilli, le cavallette e gli scarafaggi; alcune civette con orecchie asimmetriche, il cane di Akita (Giappone) che ha la coda che gira in un senso nei maschi e in un altro nelle femmine, e si rivela perciò un mezzo rapido di riconoscimento sessuale; i delfini che hanno la tendenza a ruotare in senso levogiro attorno alle barche; l'asimmetrico organo sessuale della cimice maschio; il fungo Laboulbeniales che addirittura si sviluppa solo sulla zampa posteriore sinistra di alcuni coleotteri. Tutti esempi riportati nello studio di A.C. Neville sulle asimmetrie degli animali ("Animal Asymmetry").

** Anche l’uso degli arti o del becco risponde a questa scelta bilaterale. Per catturare le larve, i corvi della Nuova Caledonia (Corvus moneduloides) reggono il rametto che usano come utensile per estrarre le larve dalle cavità alcuni dal lato destro altri dal lato sinistro del becco, perché mettono a fuoco la preda e la punta del rametto con un solo occhio, dominante rispetto all’altro in quanto ha la migliore acuità visiva, stranamente quello controlaterale: l’occhio destro se la punta del rametto è a sinistra, l’occhio sinistro se è a destra. E’ un po’ quello che accade agli Umani sulla preferenza individuale per la mano destra o sinistra (A. Martinho, Current Biology).

Come nasce la differenziazione destra sinistra? Pasteur credeva che la causa di tutto fosse il magnetismo. Con esperimenti da dottor Caligari, si mise a creare cristalli sotto l'influsso di diversi potenti forze magnetiche. Ma non approdò a nulla. Anche il passaggio del sole da est a ovest riteneva lo scienziato francese potrebbe essere il responsabile di asimmetrie. Ed ecco ingegnosi marchingegni con complicati meccanismi a orologeria e specchi per far arrivare alle piante il solo da ovest a est. Ma le sostanze sperate, capaci di far ruotare la luce polarizzata in direzione opposta, non riuscì mai a produrle. Il suggestivo conflitto tra la. non vita razionalmente simmetrica e la vita capricciosamente asimmetrica che sembra caratterizzare le forme viventi del nostro mondo non è stato ancora risolto scientificamente.

Proviamo – si è proposto in una sua ricerca Martin Gardner, divulgatore matematico di Tulsa (Oklahoma) – a rivoluzionare le nostre conoscenze, dalla biologia alla fisica dei quanti, semplicemente ponendo il problema della simmetria. E’ vero che il mondo è diviso a metà? Ha un senso in natura quella distinzione destra sinistra che finora sembra una futile convenzione umana? L'originale saggio, tradotto in italiano, è stato pubblicato dalla Zanichelli (L’Universo ambidestro, tit. orig.The Ambidextrous Universe) con l'inquietante sottotitolo: «Nel mondo degli specchi, delle asimmetrie, delle inversioni temporali».

Innanzitutto, un passo indietro. Che cosa si intende per simmetria? Una figura piana, con almeno un asse (asse di simmetria) che la divide in due metà specularmente uguali, viene convenzionalmente definita simmetrica, cioè tale da poter essere sovrapposta punto per punto alla sua immagine nello specchio, senza apparire capovolta. Tutto qui? No, naturalmente. I matematici parlano anche di altri tipi di simmetria. Ma a noi interessa per il momento solo questo tipo di simmetria, quella per riflessione.

Per converso, una figura è asimmetrica se non è sovrapponibile alla sua immagine riflessa. Quadrati, ellissi, cerchi, triangoli equilateri e isosceli, stelle, e i semi delle carte (cuori, quadri, fiori, picche) sono simmetrici. Anzi, il cerchio e la corona circolare hanno un numero infinito di assi di simmetria, mentre i cuori, le picche e fiori delle carte da poker ne hanno solo uno, quello longitudinale. Al contrario, una spirale, un parallelogramma, una croce uncinata, sono tipiche figure piane asimmetriche. Delle lettere maiuscole dell'alfabeto, solo F, G, J, L, N, P, R, S e Z sono asimmetriche: tutte le altre hanno uno o più assi di simmetria.

Poiché la natura è un mondo a tre dimensioni, è ovvio che siano più spesso i solidi che le figure piane ad interessare Gardner. In tali casi si parlerà non di assi ma di piani di simmetria che tagliano idealmente un sasso, la nostra mano o una casa. E l'esperienza, prima ancora che l'evidenza, ci mette in guardia. Attenzione: per la sua maggiore complessità funzionale un solido, naturale o costruito dall'uomo, anche se apparentemente simmetrico potrà rivelare sempre qualche imprevista asimmetria.

Un'auto la vediamo come simmetrica finché non badiamo al volante di guida che è a destra nelle auto inglesi e a sinistra in quelle continentali. Perfino un aereo in volo, che pure ci sembra simmetrico come un gabbiano, all'improvviso accende le luci (rossa a sinistra e verde a destra), introducendo una piccola asimmetria funzionale e cromatica. E anche il ventilatore elettrico, che a prima vista sembra simmetrico, non lo è, perché le sue pale sono parte di una superficie elicoidale. Se le pale fossero sostituite con le loro enantiomorfe dice Gardner il ventilatore aspirerebbe l'aria, anziché soffiarla.

E' vero, con una certa approssimazione gli animali e anche l'uomo hanno una simmetria bilaterale, per dirla con i biologi. Ma quando, per esempio, siamo a braccia conserte? Ecco che ci leghiamo con un nodo semplice, che può essere destrorso o sinistrorso a seconda della direzione elicoidale. E la simmetria cessa. E’ rara, invece, la simmetria anteroposteriore (davanti dietro), proprio per le particolarità evolutive degli animali, come pure quella super inferiore (sopra sotto). Quest'ultima è forse la più difficile da riscontrarsi, sia negli animali che negli oggetti artificiali, forse per l'azione asimmetrica esercitata dall'attrazione terrestre.

Più gli animali e i manufatti sono pesanti, hanno cioè una massa consistente, più finiscono per assumere una forma tendenzialmente conica o piramidale. Si evolvono o sono costruiti così per opporsi meglio all'azione magnetica verso il basso. Si pensi alle zampe dell'elefante, ma anche ad una cattedrale gotica, ad un'auto, ad una sedia. Una sedia, è vero, possiede gambe fini, come un tavolo o un ragno o una gazzella; ma l'area circoscritta dalle zampe in posizione di stabilità, è maggiore di quella proiettata dalla sola parte superiore. In natura, quindi, la simmetria super inferiore è rara, mentre quella bilaterale destra sinistra è la più comune, e visto che la gravità è una forza che opera verticalmente, il più frequente asse di simmetria è quello verticale.

Ma soltanto il matematico, ancor più di una bella donna, sa stare davanti ad uno specchio senza confondersi? Altro che inversione destra sinistra. Lui solo sa che in realtà si tratta soltanto di uno scambio davanti dietro. Come mai? Gardner ce lo spiega in modo molto semplice. Se siamo davanti ad uno specchio col nostro fianco sinistro a ovest e il destro a est, muovendo la mano a ovest vediamo che anche l'immagine nello specchio muove la mano a ovest. Se chiudiamo l'occhio a est, anche l'occhio riflesso a est si chiude. Anche l'alto e il basso mantengono la stessa orientazione. Quello che.cambia, in termini strettamente geometrici, è l'asse davanti dietro, cioè nord sud: noi guardiamo nello specchio verso nord, l'immagine riflessa invece guarda verso di noi, a sud.

Ecco come una presunta inversione destra sinistra si trasforma in inversione nord sud. Restano immutati gli assi verticali e trasversali, mentre cambia l'orientazione dell'asse ortogonale ad essi. Anche se lo specchio è sopra o sotto di noi, e ci dà un'immagine capovolta, noi ci immaginiamo dentro lo spazio capovolto dice Gardner e notiamo che i nostri lati destro e sinistro sono stati cambiati. Perciò preferiamo descrivere questo fenomeno come uno scambio destra sinistra, piuttosto che uno scambio alto basso e avanti indietro, proprio perché siamo dotati di simmetria bilaterale.

Naturale che con l'aiuto di uno specchio, approfittando dei diversi livelli di simmetria di lettere e numeri, si possano condurre parecchi giochetti di società. Un trucchetto semplice in cui quasi tutti cadono è quello inventato dal professor H. Harwood, preside della facoltà di medicina dell'Università del Nord Dakota. Davanti ad uno specchio si pongono una scatola di chiodi con la scritta maiuscola in bell'evidenza, avvolta nel cellofan trasparente, e una scatola di viti, anch'essa con la sua scritta, ma senza cellofan. Che apparirà? Sullo specchio si vedrà rovesciata la scritta VITI, mentre la scritta CHIODI resterà stranamente immutata e diritta. Lo scherzo consiste nel far credere agli amici che ciò sia dovuto ad una «seconda riflessione» ad opera del cellofan, che ... invertendo l'immagine invertita dallo specchio riporterebbe le cose al punto di partenza. Non è così, ovviamente, ma tutti ci cascano.

In realtà, a che cosa è dovuto il trucco? Ad una simmetria aggiuntiva. Tutte le lettere maiuscole usate (nell'esperimento) sono lettere simmetriche, ma l'intera parola maiuscola «chiodi» ha in più un asse di simmetria orizzontale che le permette di essere capovolta senza mutare. Altra particolarità posseggono le lettere con simmetria verticale: rimangono inalterate, se riflesse in uno specchio, quando sono scritte verticalmente. Il nome «Mattia», in maiuscolo, resta invariato, mentre «Luisa» viene rovesciato (v. figura). Naturalmente nello scherzo da salotto daremo ad intendere che ciò accade perché lo specchio rovescia le scritte su sfondo nero e non quelle su sfondo bianco.

A differenza dei manufatto, la natura inanimata è il regno delle simmetrie libere. La gravità terrestre attrae soltanto verso il basso e in conseguenza ogni cosa tende ad estendersi in modo approssimativamente uguale in tutte le direzioni: alberi, laghi, lava di un vulcano, sabbia, mare. Insomma, piani infiniti di simmetria verticali, ma nessuno orizzontale. L'albero tipo è un esempio, al riguardo. Può essere tagliato in due metà da molti piani passanti per l'apice, ma da nessuno che passi orizzontalmente per il tronco. I concetti di destra e sinistra sono, perciò opinabili, limitativi o errati in natura. Un panorama marino o montano, un lago o una foresta, resteranno più o meno gli stessi se guardiamo la diapositiva fotografica del retro o per errore stampiamo la foto al contrario. Non bastano gli uomini o gli animali per dirimere questa ambiguità di lettura: ci vogliono artifici piatti creati dall'uomo (cartelli stradali, strade, scritte) per riportare l'immagine al suo verso giusto e ripristinare fortunosamente la distinzione certa destra sinistra.

L'arte segue questa ambiguità. E non solo quella figurativa, ma perfino la musica Nel XV sec. molti compositori usavano utilizzare nei canoni melodie specularmente uguali, di cui una era il rovescio dell'altra. Col magnetofono a due piste chiunque è in grado di realizzare ardite simmetrie foniche, ascoltando la registrazione al contrario.

E i palindromi? Nell'enigmistica, come in letteratura, hanno sempre affascinato le parole che possono esser lette in entrambe le direzioni. La più semplice è «ala». Ma intere frasi possono essere dotate di una prodigiosa simmetria bilaterale perfetta, come l'inglese «A man, a plan: a canal Panama» (Un uomo, una mappa: un canale di Panama) che, letto al contrario, si conserva invariato. Lo stesso si dica per i numeri. L'ultimo anno palindromo fu il 1881, mentre il 1961 è invertibile ma non palindromo. Per vivere in un altro anno palindromo bisognerà aspettare fino al 1991. Legioni di matematici perditempo si sono sbizzarriti nella ricerca della formula per trovare numeri palindromi sempre più grandi e complessi. Poemetti e brani di prosa palindromi sono stati scritti per riviste letterarie d'avanguardia.

Anche l'universo è simmetrico? La nostra galassia è del tipo a spirale, con lunghi bracci che partono dal centro come tentacoli di una piovra. Sarebbe asimmetrica se fosse a due dimensioni, cioè su un piano, ma in un universo a tre dimensioni non lo è. Di profilo assomiglia ad una lente convessa o a due piatti collegati per il bordo maggiore. li piano che divide i «piatti» è un piano di simmetria.

Se invece consideriamo la posizione e le dimensioni delle singole stelle che la compongono, la nostra galassia non è più simmetrica. D'altra parte l'universo sembra avere una simmetria sferica, sia che si dia peso alla teoria del Big Bang che a quella dello stato stazionario, sostiene Gardner. «Non ci sono indizi che l'universo possa avere alcun tipo di asimmetria, del tipo destra sinistra, su larga scala». Pseudo asimmetrie è vero si riscontrano sia nella galassia che negli astri e nei pianeti, se consideriamo gli assi magnetici (che coincidono, con molta approssimazione, con gli assi di rotazione): la distinzione da noi introdotta per convenzione di polo nord polo sud finisce per introdurre una quasi-asimmetria, visto che il concetto di destra coincide con l'est e quello di sinistra con l'ovest. La terra, poi, per il maggiore schiacciamento al polo sud, ha la forma di uno sferoide un po' a pera, il che limita all'ambito radiale il numero di piani di simmetria possibili.

Poiché è un corpo rotante, come tutti i corpi astronomici, nella terra ogni asimmetria è levogira in un emisfero e destrogira nell'altro, come ha scoperto l'ingegnere francese G. G. de Coriolis. Ad esempio, un aereo che dall'Italia vola verso il polo nord avrà la tendenza a deviare verso destra, rispetto alla direzione di volo. Se invece l'aereo è nell'emisfero australe e si dirige verso il polo sud, tenderà a deviare verso la sua sinistra. In entrambi i casi la deviazione reale è verso est (le immagini delle due traiettorie sono speculari tra loro). Perché si verifica l'effetto Coriolis? Semplicemente perché i diversi punti della terra ruotano a velocità diversa (massima all'equatore, nulla ai poli). Un aereo, o meglio ancora un missile intercontinentale, mantiene la sua velocità iniziale anche quando una regione della superficie terrestre ruota più lentamente. Per lo stesso motivo, ma con effetto opposto, la deviazione di Coriolis avviene verso ovest se il missile si muove verso l'equatore.

Sembra ma non è ancora stato provato con sicurezza che la forza di Coriolis sia all'origine anche del moto a spirale dell'acqua che viene risucchiata in un tubo. Secondo alcuni, il vortice che si crea in corrispondenza dello scarico di una grande vasca a fondo piatto gira in senso antiorario al polo nord e in senso orario al polo sud. Ma molti fattori, compresa la forte «memoria» del movimento iniziale che possiede l'acqua anche dopo ore di calma apparente, pongono in dubbio tali esperimenti. Certo è che le deviazioni di Coriolis a destra e a sinistra influenzano in senso antiorario nell'emisfero settentrionale e in senso orario in quello meridionale la rotazione a spirale di cicloni e tornado.

Il suggestivo conflitto tra la non vita simmetrica e la vita asimmetrica che sembra caratterizzare il nostro mondo non è stato ancora risolto scientificamente.

Avremmo delle difficoltà perfino a far comprendere a eventuali umanoidi viventi in altre galassie, lontani cioè dal sistema solare, che cosa sono «destra» e «sinistra». E' il «problema di Ozma», come lo ha chiamato il radioastronomo Frank D. Drake, dal nome del re della favola di Oz. Tutto è stato tentato: campi magnetici generati da correnti elettriche, fili posti sotto una bussola (esperimento di Mach), avvolgimenti su una sbarra d'acciaio ecc. Niente da fare. Il metodo sperimentale per ottenere dalla natura una definizione non ambigua di destra e sinistra non si è trovato che con un complesso esperimento di fisica atomica compiuto dalla scienziata Chien Shiung Wu, un'americana di origine cinese, nei laboratori dell'Università di Columbia. La «legge della parità» simmetrica, cioè la non preferenza teorica della natura per una delle due parti, era violata.

IMMAGINI. L’Uomo di Vitruvio (Leonardo), la farfalla, la mano tra due specchi, alcuni nomi, le opere dell’architettura, un cavolo cappuccio rosso tagliato (andamento elicoidale a sinistra), una pianta rampicante (levogira), la doppia elica del DNA (destrogira), un disegno a incastro di Escher, sono esempi di diversi aspetti – dai più semplici ai più complessi – della simmetria. Il pallone da calcio deriva da un icosaedro tronco e ha oltre 100 simmetrie.

* Le due edizioni erano molto diverse in più punti: sono state per quanto possibile riunite e integrate.

** Capoverso aggiunto nel dic. 2014

JAZZ. Un bell’album di Count Basie e la sua grande orchestra degli anni 40 con le registrazioni del Savoy Ballroom è ascoltabile qui: